Die Simulation arbeitet folgendermassen:
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es werden ca. 1000 bis 100000 Durchläufe des Einzelexperiments gemacht (bei vielen Dreiecken steigt die Rechnezeit mit n hoch 3 so dass man besser weniger Durchläufe macht)
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jedes Einzelexperiment
2a) würfelt (mit einem Mersenne-Twister) n Punkte im Einheitsquadrat aus
2b) prüft alle n*(n-1)*(n-2) Dreicke die es gibt
2c) prüft bei jedem Dreieck, ob einer der drei Winkel die Bedingung erfüllt
2d) notiert in einem Histogramm, wieviele passende Winkel gefunden wurden
- gibt die Statistik aus in der Form:
bei $$ Punkten liegt die Wk genau $$ Winkel zwischen $$° und $$° zu finden bei ca. $$%
Beispiele für Ergebnisse (genau genommen ist Wk nicht die Wahrscheinlichkeit sondern die Häufigkeit des Simulationsergebnisses aber das darf man hier gleich setzen):
bei 3 Punkten liegt die Wk genau 0 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 98.7%
bei 3 Punkten liegt die Wk genau 1 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 1.3%
bei 3 Punkten liegt die Wk genau 2 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 0.0%
bei 7 Punkten liegt die Wk genau 0 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 62.3%
bei 7 Punkten liegt die Wk genau 1 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 29.4%
bei 7 Punkten liegt die Wk genau 2 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 7.0%
bei 7 Punkten liegt die Wk genau 3 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 1.1%
bei 7 Punkten liegt die Wk genau 4 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 0.1%
bei 7 Punkten liegt die Wk genau 5 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 0.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 37 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 1.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 38 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 1.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 40 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 2.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 41 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 2.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 42 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 1.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 43 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 3.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 44 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 2.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 45 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 1.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 46 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 2.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 47 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 3.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 48 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 1.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 49 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 3.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 50 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 4.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 51 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 8.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 52 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 8.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 53 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 3.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 54 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 7.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 55 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 7.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 56 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 6.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 57 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 2.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 58 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 7.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 59 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 2.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 60 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 3.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 61 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 1.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 62 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 2.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 63 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 7.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 64 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 2.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 65 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 3.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 66 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 2.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 69 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 1.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 72 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 1.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 75 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 1.0%
bei 30 Punkten liegt die Wk genau 81 Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 1.0%
Wenn man nun wissen will, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen oder z.B. mindestens drei Winkel ist muss man sie ein bischen zusammenzählen. Bei 7 Punkten wäre das also 37.7% für mindestens einen bzw. 1.3% für mindestens 3.
Oder in Prosa ausgedrückt: in 7 zufällig ausgewählten Punkten findet jeder 77 (1 / 1,3%) von 100 Experimentatoren 3 oder mehr rechtwinklige Dreiecke mit 90°+/-0.5° im Zufall.
bei 10 Punkten liegt die Wk mindestens einen Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 80%
bei 30 Punkten liegt die Wk mindestens einen Winkel zwischen 89.5° und 90.5° zu finden bei ca. 100%
Bei 30 Punkten findet also jeder Dreiecke, grob zwischen 37 und 81 und am wahrscheinlichsten ca. 51. Also bestätigt das, dass man bei 30 Punkten quasi immer viele Dreiecke findet, sofern man sie sucht.
Wenn man den Winkelbereich gröber macht, findet man erwartungsgemäß mehr Dreiecke aber selbst wenn man ihn kleiner macht kann man noch erstaunlich viel Glück haben:
bei 3 Punkten liegt die Wk mindestens einen Winkel zwischen 85° und 95° zu finden bei ca. 12%
bei 6 Punkten liegt die Wk mindestens einen Winkel zwischen 85° und 95° zu finden bei ca. 95%
bei 6 Punkten liegt die Wk mindestens einen Winkel zwischen 88.5° und 91.5° zu finden bei ca. 55%
bei 7 Punkten liegt die Wk mindestens einen Winkel zwischen 89.9° und 90.1° zu finden schon bei ca. 9.3% - das ist noch erstaunlich viel!
bei 7 Punkten liegt die Wk mindestens einen Winkel zwischen 89.99° und 90.01° zu finden bei ca. 0.9% - auch das ist noch erstaunlich häufig!
D.h. jeder 111te der in 7 zufälligen Punkten Dreiecke sucht findet eines mit fast exakt 90°.
Daraus würde man nun schließen:
Wenn uns jemand 7 Punkten zeigt in denen es einen rechten Winkel gibt ist relativ wahrscheinlich.
Aber 4 oder mehr fast rechte Winkel zu finden ist schon sehr unwahrscheinlich (0.1%).
Bei 10 Punkten wäre es dagegen wieder sehr wahrscheinlich 4 oder mehr zu finden.
Etwas Selbstkritik zu dieser Betrachtung: der Test berücksichtigt nicht die Abstände der Punkte oder Größe der Dreiecke. Also dass sie halbwegs “vernünftige” Entfernungen haben. Und ein Verhältnis von ca. 3/4 auch nicht.
Das könnte man aber in die Simulation einbauen wodurch sicherlich (wesentlich) mehr Dreiecke durchs Raster fallen. D.h. damit sinkt die Häufigkeit stark ab.
Soweit die Mathematik bzw. Statistik.
Fortsetzung folgt…